Questão IME óptica geométrica

Colocam-se frente a frente um espelho convexo e outro côncavo, de modo que seus eixos principais coincidam. As distâncias focais são iguais e valem 40cm e a distância entre os espelhos é 1,2m. A que distância do espelho convexo se deve colocar um objeto, para que as imagens em ambos os espelhos sejam de mesma altura?


Solução:

Pelas informações temos:

 

Onde o espelho da esquerda é o convexo e do da direita o côncavo, a distância do objeto ao vértice do espelho convexo é x e do objeto ao vértice do espelho côncavo é 120-x, com isso temos dois casos.

1. Espelho Convexo - p=x e f=-40(dentro do espelho), vamos achar o p' pela fórmula 

  1/-40=1/x + 1/p´, isolando p' na equação teremos p´= - 40.x/(x + 40)

Sendo o aumento linear da primeira imagem(Ia) dada por p´/p, temos que

Ia=40/(x+40)

     2.Espelho Côncavo  - p=120-x e f=40, vamos achar o p'' pela fórmula

1/40=1/(120-x) + 1/p'', isolando p'' temos p"=40(120-x)/(80-x)

  Seu aumento linear Ib será p"/p ( lembrando que nesse caso p=120-x), teremos que

Ib=40/(80-x)

como as imagens precisam ter o mesmo tamanha Ia=Ib

40/(x+40)=40/(80-x)

resolvendo teremos x=20cm